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因而集合论成为现代数学的基石。
【数学三大危机第一次危机是什么数学三大危机数学历史三大危机】1903年，英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的元素所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？
罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。
当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：&34;理发师是否自己给自己刮脸？&34;如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。
3.2 解决
为摆脱这一空前的危机，数学家主要考虑了两条路径：一是抛弃整个集合论，把数学建立在新的理论基础之上；另一条途径是改造康托尔的集合理论，引进新的理论体系。
经过探索，数学们选择了改造康托尔的集合理论。
这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的（没有明确对于已知集合，哪些操作是合法的），这就留下了解决问题的余地。
通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”
罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓” 。即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象。为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合。
1908年策梅洛(Zermelo)提出了比较完整的公理，这些公理指明了对集合的哪些操作是合法的。后经过弗兰克尔（Fraenkel）的完善和补充，形成了ZF公理系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。
除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。
20世纪的伟大数学家哥德尔证明了哥德尔不完备性定理，该定理无论是在数学史上，还是在逻辑学发展史上都是一个里程碑。
哥德尔不完备性定理的内容是：包括算术在内的任何一个协调公理系统都是不完备的。
具体地讲，包括算术在内的任何一个形式系统L，如果L是协调的，那么在L内总存在不能判定的逻辑命题，即L中存在逻辑公式A与非A，在L内不能证明它们的真假。
哥德尔定理的意义在于，包括数学在内的任何一个科学体系都不能用一个完备的系统概括起来。
尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
4 三次危机与无穷的关系第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。所以，第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的19世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差不多是与第二次数学危机同时，才被彻底解决的。
第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。
第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。

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