· 时间曲线 。这些速度小于光速的曲线落在光锥内（注意：大质量粒子的世界线都是时间型曲线）
· 空间曲线 。例如 ， 这些曲线表示物体的长度 。
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以上各种世界线皆对应一种dτ的符号 。
本征时间dτ的长短取决于时空的性质 。在时空的某个区域 ， 如果方程2有效 ， 那么就可以将其代入方程3 ， 并得出：
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公式4：由恒定引力场引起的闵可夫斯基时空间隔的变化 。
现在 ， 可以考虑进行坐标变换 ， 将其放入一个匀加速的参考系中 。新的x和t变成：
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公式5：通过坐标变换将其放入一个匀加速的参考系 。
y和z保持不变 。闵可夫斯基区间方程3用该坐标表示如下：
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公式6：匀加速的参考系中的闵可夫斯基距离 。
【广义相对论百科 广义相对论 广义相对论被证实了吗】
现在 ， 在变换方程5中选择时间小于或等于c/g的次数 ， 并进行简单展开 ， 即新的时空间隔方程3变成：
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公式7：用非惯性坐标表示的平直闵可夫斯基时空中的时空间隔 。
注意 ， 它的形式与方程4相同 。因此 ， 根据等效原理 ， 转换成一个加速参考系相当于引入一个引力场 。
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图源：unsplash
到目前为止 ， 我们只考虑了闵可夫斯基度量下的小偏差 。与爱因斯坦相同 ， 我们也假设 ， 一般来说（不仅是小偏差）引力场的存在扭曲了时空的几何结构 。更准确地说 ， 爱因斯坦的引力理论认为 ， 在引力场存在的情况下 ， 时空会成为一个光滑的伪黎曼流形 ， 并具有以下形式的时空间隔：
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公式8：伪黎曼流形上的时空间隔 。
在闵可夫斯基时空中 ， 粒子以匀速直线运动：
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公式10：在闵可夫斯基时空中 ， 粒子以匀速直线运动 。
在没有重力的情况下 ， 让我们把下列变换成一个曲线坐标系：
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公式11：在没有重力的情况下转换成曲线坐标 。
时空间隔变为：
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方程12：变换后的时空间隔方程11 。
其中：
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方程13：变换后的度量张量公式11 。
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在上图的惯性参考系中 ， 黑球以直线运动 。然而 ， 站在旋转参照系（底部）中的观察者（红点）看到 ， 由于该参照系中存在科里奥利力和离心力 ， 该黑球沿着弯曲的路径行进 。
运动方程10成为普遍存在的测地线方程：
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方程14：运动方程10经坐标变换后变为方程11 ， 此时仍然没有重力 。
其中物体被称为克氏符号 。
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方程15：在测地线方程中出现的克氏符号 。
在方程14中 ， 克氏符号产生一种“明显的”加速度 ， 这种加速度只是在用曲线坐标描述笛卡尔坐标系中的线性运动时产生的 。但它们实际上是惯性加速度（例如科里奥利加速度） 。
但是根据等价原理 ， 所有的加速度 ， 无论是惯性加速度还是重力加速度 ， 都是度量：重力扭曲了时空几何（这是一个具有相关度量的拟黎曼流形） ， 并且粒子在时空中沿着方程16给出的测地线进行运动 。
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