图像降噪综述( 二 ) _图像降噪

二维高斯分布函数，又称为正态分布，其函数定义如下：
其中， σ^2是高斯滤波的方差，控制着滤波器的平滑程度。
图像u0(x,y)经过高斯模板f(x,y)得到的滤波后图像为：
从上式可以看出，这是一种各向同性滤波器，相比于图像的简单平滑，在保留图形全局特征方面有很大改进，然而高斯核对图像中所有像素进行相同处理时，无法辨别被处理的像素信息是平缓的普通区域还是边缘区域，结果就会退化，并模糊图像中本来的边缘或纹理信息，客观上削弱了图像的视觉质量。
（4）双边滤波（NLM）
双边滤波（）由空间邻近度因子和灰度相似度因子两个部分组成，以实现降噪保边的目的。
图像中，灰度值 j 对i 的权值为：
其中， I_i ， I_j为像素的灰度值；K_i为归一化因子；σ_12和σ_22分别为空间距离和灰度距离的衰减因子。根据指数衰减函数的形式可以看出，两个灰度值的差值越大，权值越小，降噪程度降低；相反的，两个灰度值的差值越小，权值则越大，降噪程度也会增加。这就说明了，双边滤波可以在图像的边缘部分减小降噪效果，保护边缘信息，而在图像的平滑区域提高降噪效果，以更好的滤除噪声。
图像的双边滤波中，输出图像的灰度值依赖于图像邻域灰度值的加权组合，可表达为：
其中定义域（空间邻域）的核为：
值域（灰度相似度）的核为：
双边滤波的权重是由空间邻域和灰度相似度组成的：
（5）各向异性滤波
各向异性扩散（）是一种利用偏微分方程的降噪方法，它用到的扩散系数是由迭代出来的梯度值所确定的，而非初始含噪图像的梯度值。最典型的各向异性扩散方法是由和Malik两人提出的非线性各向异性扩散的方程，即PM模型，它的表示式为：
其中，
是扩散函数（因子），也是梯度的单调递减函数。
和Malik给出
的经典表达如下：
从式3.10可以看出，沿梯度方向的扩散系数
，在平坦区域，梯度值低，扩散系数较大，图像极力平滑，去除噪声；而边缘区域，梯度值高，扩散系数较小，保护细节。当梯度值 u 大于K时，扩散系数逐渐成为负值，图像开始相反方向的扩散，进而增强边缘信息。最终算法的迭代形式如下：
上式为PM模型的东南西北四个梯度方向。PM模型在扩散过程中，对图像边缘不但具有保持作用，还能有效地去除噪声，对平坦区域具有较强的降噪能力。因此，就有了各向异性扩散的降噪方法。但PM模型的缺点是不能找到噪声与边缘的精确梯度分界线，从而影响梯度值的估计，最后使得噪声变得更大，影响整体地降噪效果。实际上，传统的PM模型在处理图像时会有阶梯效应。
（6）全变分模型
全变分模型是一个依靠梯度下降法对图像进行平滑的各向异性的模型，希望在图像内部尽可能对图像进行平滑（相邻像素的差值较小），而在图像边缘（图像轮廓）尽可能不去平滑。想要全面了解全变分模型，需要知道泛函分析，梯度下降法，欧拉拉格朗日方程E-L等概念。