集合论 _生活百科

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集合论【集合论】数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关係等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。
在朴素集合论中，集合被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。
在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规範可以描述其性质的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。
基本介绍中文名：集合论
外文名：set theory
主条目：集合 (数学)和集合代数
特点：在欧式几何中而不被直接定义
意义：是整个现代数学的基础
研究对象：一般集合
简介集合论是研究集合的结构、运算及性质的一个数学分支。现代数学这一最重要的基础理论是康托在19世纪70、80年代创立的。由平面(或空间)上一些点组成的集，称为“点集” 。一个点集可以是某些孤立的点，也可以是某曲线上或某区域内的所有点。可以把各种几何图形看成是一个点集，然后研究它所包含的点在位置及数量关係方面的共同特徵，这样往往能够得到比直观更为深刻的结论。有关点集的基本理论，称为点集论，而集合论讨论比点集更广泛、更抽象的一般集合。集合论在几何、代数、分析、机率论、数理逻辑及程式语言等各个数学分支中，都有广泛的套用。集合的元素应该满足某些公理。可以建立各种集合论公理系统，例如1904年至1908年间，策梅洛(E.Zermelo，德，1871—1953)为避免罗素悖论提出的第一个集合论公理系统(ZF系统) 。有关集合论基础的重要问题，至今还没有得到完满的解决。基础概念集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关係开始：若o是A的元素，可表示为o ∈ A 。由于集合也是一个物件，因此上述关係也可以用在集合和集合的关係。另外一种二个集合之间的关係，称为包含关係。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为B的子集，符号为A ? B 。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定义，任一个集合也是本身的子集，不考虑本身的子集称为真子集。集合A为集合B的真子集若且唯若集合A为集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。数的算术中有许多一元及二元运算，集合论也有许多针对集合的一元及二元运算：集合A和B的并集，符号为A ∪ B，是在至少在集合A或B中出现的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的联集为集合{1, 2, 3, 4}。集合A和B的交集，符号为A ∩ B，是同时在集合A及B中出现的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的交集为集合{2, 3}。集合U和A的相对差集，符号为U \ A，是在集合U中,但不在集合A中的所有元素，相对差集{1,2,3} \ {2,3,4} 为{1} ，而相对差集{2,3,4} \ {1,2,3} 为{4}。当集合A是集合U的子集时，相对差集U \ A也称为集合A在集合U中的补集。若是研究文氏图，集合