最近公共祖先 _生活百科

最近公共祖先对于有根树T的两个结点u、v ，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x ，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。
基本介绍中文名：最近公共祖先
外文名：Lowest Common Ancestors
简称：LCA
算法：离线算法，倍增法
算法简介另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。这里给出一个LCA的例子：对于T=<V,E>V={1,2,3,4,5}E={(1,2),(1,3),(3,4),(3,5)}则有：LCA(T,5,2)=1LCA(T,3,4)=3LCA(T,4,5)=3算法离线算法 Tarjan利用并查集优越的时空複杂度，我们可以实现LCA问题的O(n+Q)算法，这里Q表示询问的次数。Tarjan算法基于深度优先搜寻的框架，对于新搜寻到的一个结点，首先创建由这个结点构成的集合，再对当前结点的每一个子树进行搜寻，每搜寻完一棵子树，则可确定子树内的LCA询问都已解决。其他的LCA询问的结果必然在这个子树之外，这时把子树所形成的集合与当前结点的集合合併，并将当前结点设为这个集合的祖先。之后继续搜寻下一棵子树，直到当前结点的所有子树搜寻完。这时把当前结点也设为已被检查过的，同时可以处理有关当前结点的LCA询问，如果有一个从当前结点到结点v的询问，且v已被检查过，则由于进行的是深度优先搜寻，当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查，而这个最近公共祖先的包涵v的子树一定已经搜寻过了，那幺这个最近公共祖先一定是v 所在集合的祖先。下面给出这个算法的伪代码描述：LCA(u){Make-Set(u)ancestor[Find-Set(u)]=u对于u的每一个孩子v{LCA(v)Union(u)ancestor[Find-Set(u)]=u}checked[u]=true对于每个(u,v)属于P{ifchecked[v]=truethen回答u和v的最近公共祖先为ancestor[Find-Set(v)]}}由于是基于深度优先搜寻的算法，只要调用LCA(root[T])就可以回答所有的提问了，这里root[T]表示树T的根，假设所有询问(u,v)构成集合P 。线上算法倍增法每次询问O(logN)d[i] 表示 i节点的深度， p[i,,j] 表示 i 的 2^j 倍祖先那幺就有一个递推式子 p[i,,j]=p[p[i,,j-1],,j-1]这样子一个O(NlogN)的预处理求出每个节点的 2^k 的祖先然后对于每一个询问的点对(a, b)的最近公共祖先就是：先判断是否 d[a] > d[b] ,如果是的话就交换一下(保证 a 的深度小于 b 方便下面的操作) ，然后把b 调到与a 同深度, 同深度以后再把a, b 同时往上调(dec(j)) 调到有一个最小的j 满足p[a,,j]!=p[b,,j] (a b 是在不断更新的), 最后再把 a, b 往上调 (a=p[a,0], b=p[b,0]) 一个一个向上调直到a = b, 这时 a or b 就是他们的最近公共祖先。算法实例问题描述：设计一个算法，对于给定的树中结点返回它们的最近公共祖先。编程任务：对于给定的树和树中结点对，计算结点对的最近公共祖先。数据输入：由档案input.txt给出输入数据。第一行有1个正整数n ，表示给定的树有n个顶点，编0号为1 ， 2 ， … ， n 。编号为1 的顶点是树根。接下来的n 行中，第i+1 行描述与i 个顶点相关联的子结点的信息。每行的第一个正整数k表示该顶点的儿子结点数。其后k个数中，每1 个数表示1 个儿子结点的编号。当k=0 时表示相应的结点是叶结点。档案的第n+2 行是1 个正整数m ，表示要计算最近公共祖先的m个结点对。接下来的m行，每行2 个正整数，是要计算最近公共祖先的结点编号。结果输出:将编程计算出的m个结点对的最近公共祖先结点编号输出到档案output.txt 。每行3 个正整数，前2 个是结点对编号，第3 个是它们的最近公共祖先结点编号。输入档案示例(input.txt)123 2 3 42 5 6002 7 82 9 100002 11 120053 117 124 89 128 10输出档案示例(output.txt)3 11 17 12 24 8 19 12 68 10 2C代码实现：#include<iostream>#include<fstream>using namespace std;inline void Swap(int&a,int&b){ int temp=a; a=b; b=temp;}int Partition(int *a,int p,int r){ int i=p; int j=r+1; int x=a[p]; while(true){ while(a[++i]<x&&i<r); while(a[--j]>x); if(i>=j) break; Swap(a[i],a[j]); } a[p]=a[j]; a[j]=x; return j;}void QuickSort(int *a,int p,int r){ if(p<r){ int q=Partition(a,p,r); QuickSort(a,p,q-1); QuickSort(a,q+1,r); }}int FindSource(int *array,int source,int low,int high){ int mid; while(low<=high){ mid=(low+high)/2; if(source==array[mid]) return source; else{ if(source<array[mid]) high=mid-1; else low=mid+1; } } return -1;}class CommonTree{ public: CommonTree(int Max=10); ~CommonTree(); void getdata(int *treedata,int num); int find_same_ancestor(int Node1,int Node2,int array_num); void getroot(int i); int Size(); void Print() const; private: int *TreeArray; int size; int root;};/CommonTree::CommonTree(int Max){ size=Max; TreeArray=newint[size]; if (TreeArray==NULL) exit(1);}CommonTree::~CommonTree(){ delete[]TreeArray;}voidCommonTree::getdata(int*treedata,intnum){ int *p_temp=TreeArray; TreeArray=treedata; treedata=http://www.mancos-co.com/p_temp; size=num; delete[]treedata; treedata=NULL;}int CommonTree::find_same_ancestor(int Node1,int Node2,int array_num){ int *array_Node1=newint[array_num]; int *array_Node2=newint[array_num]; if(array_Node1==NULL&&array_Node2==NULL) exit(1); int x=Node1,array_Node1_num=0; array_Node1[0]=x; while(x!=root){ x=TreeArray[x]; array_Node1_num++; array_Node1[array_Node1_num]=x; } x=Node2; int array_Node2_num=0; array_Node2[0]=x; while(x!=root){ x=TreeArray[x]; array_Node2_num++; array_Node2[array_Node2_num]=x; } QuickSort (array_Node2,0,array_Node2_num); int result=0; for(inti=0;i