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勾股定理求解第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题 。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的 。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦 ， 则 ， m>n 。在西方 ， 毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况 ， 直到3世纪的丢番图才取得相近的结果 ， 这已比《九章算术》晚约3个世纪了 。勾股章还有些内容 ， 在西方却还是近代的事 。例如勾股章最后一题给出的一组公式 ， 在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出 。主要特点《九章算术》确定了中国古代数学的框架 ， 以计算为中心的特点 ， 密切联繫实际 ， 以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格 。其影响之深 ， 以致以后中国数学着作大体採取两种形式：或为之作注 ， 或仿其体例着书；甚至西算传入中国之后 ， 人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架 。然而 ， 《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义 ， 也没有给出任何推导和证明 。魏景元四年（263年） ， 刘徽给《九章算术》作注 ， 才大大弥补了这个缺陷 。
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《九章算术》刘徽是中国数学家之一 。他的生平知之甚少 。据考证 ， 他是山东邹平人 。刘徽定义了若干数学概念 ， 全面论证了《九章算术》的公式解法 ， 提出了许多重要的思想、方法和命题 ， 他在数学理论方面成绩斐然 。刘徽对数学概念的定义抽象而严谨 。他揭示了概念的本质 ， 基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求 。而且他使用概念时亦保持了其同一性 。如他提出凡数相与者谓之率 ， 把率定义为数量的相互关係 。又如他把正负数定义为今两算得失相反 ， 要令正负以名之 ， 摆脱了正为余 ， 负为欠的原始观念 ， 从本质上揭示了正负数得失相反的相对关係 。《九章算术》的算法儘管抽象 ， 但相互关係不明显 ， 显得零乱 。刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理 ， 把它们看作运算的纲纪 。许多问题 ， 只要找出其中的各种率关係 ， 通过乘以散之 ， 约以聚之 ， 齐同以通之 ， 都可以归结为今有术求解 。一平面（或立体）图形经过平移或旋转 ， 其面积（或体积）不变 。把一个平面（或立体）图形分解成若干部分 ， 各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等 。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理 ， 是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理 。刘徽发展了出入相补原理 ， 成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性 。数学成就《九章算术》中的数学成就是多方面的：（1）、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法 。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作 ， 在第二、三、六章中有许多比例问题 ， 在世界上也是比较早的 。“盈不足”的算法需要给出两次假设 ， 是一项创造 ， 中世纪欧洲称它为“双设法” ， 有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的 。《九章算术》中有比较完整的分数计算方法 ， 包括四则运算 ， 通分、约分、化带分数为假分数（我国古代称为通分内子 ， “内”读为纳）等等 。其步骤与方法大体与现代的雷同 。分数加减运算 ， 《九章算术》已明确提出先通分 ， 使两分数的分母相同 ， 然后进行加减 。加法的步骤是“母互乘子 ， 并以为实 ， 母相乘为法 ， 实如法而一”这里“实”是分子 。“法”是分母 ， “实如法而一”也就是用法去除实 ， 进行除法运算 ， 《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者 ， 以法命之” 。就是分子小于分母时便以分数形式保留 。其二是“其母同者 ， 直相从之” ， 就是分母相同的分数进行加减 ， 运算时不必通分 ， 使分子直接加减即可 。《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法 。求最大公约数的方法称为“更相减损”法 ， 其具体步骤是“可半者半之 ， 不可半者 ， 副置分母子之数 ， 以少减多 ， 更相减损 ， 求其等也 。以等数约之 。”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数 。可半者是指分子分母都是偶数 ， 可以折半的先把它们折半 ， 即可先约去2 。不都是偶数了 ， 则另外摆（即副置）分子分母算筹进行计算 ， 从大数中减去小数 ， 辗转相减 ， 减到余数和减数相等 ， 即得等数 。在《九章算术》的第二、三、六等章内 ， 广泛地使用了各种比例解套用问题 。粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十 ， 粝米三十 ， 粺米二十七 ， 糳米二十四 ， ……”这是说：穀子五斗去皮可得糙米三斗 ， 又可舂得九折米二斗七升 ， 或八拆米二斗四升 ， …… 。例如 ， 粟米章第一题：“今有粟米一斗 ， 欲为粝米 ， 问得几何” 。它的解法是：“以所有数乘所求率为实 ， 以所有率为法 ， 实如法而一” 。《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有（人）共买物 ， （每）人出八（钱） ， 盈（余）三钱；人出七（钱） ， 不足四（钱） ， 问人数、物价各几何” ， “答曰：七人 ， 物价53（钱） 。”“盈不足术曰：置所出率 ， 盈、不足各居其下 。令维乘（即交错相乘）所出率 ， 并以为实 ， 并盈 ， 不足为法 ， 实如法而一……置所出率 ， 以少减多 ， 余 ， 以约法、实 。实为物价 ， 法为人数” 。盈不足术是中国数学史上解套用问题的一种别开生面的创造 ， 它在我国古代算法中占有相当重要的地位 。盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家 ， 受到特别重视 ， 被称为“契丹算法” ， 后来又传入欧洲 ， 中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国 。（2）、《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识 ， 在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的套用 。《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法 。《九章算术》方田章第一题“今有田广十五步 ， 从（音纵zong）十六步 。问为田几何 。”“答曰：一亩” 。这里“广”就是宽 ， “从”即纵 ， 指其长度 ， “方田术曰：广从步数相乘得积步 ， （得积步就是得到乘积的平方步数）以亩法二百四十步（实质应为积步）除之 ， 即亩数 。百亩为一顷 。”当时称长方形为方田或直田 。称三角形为圭田 ， 面积公式为“术曰：半广以乘正从” 。这里广是指三角形的底边 ， 正从是指底边上的高 ， 刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者 ， 以盈补虚 ， 为直田也 。”“亦可以半正从以乘广”（图1－30） 。盈是多余 ， 虚乃不足 。“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分 ， 这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法 ， 由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田 ， 于是得到了圭田的面积计算公式 。方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”（即斜田）它的面积公式是：“术曰：并两邪（即两斜 ， 应理解为梯形两底）而半之 ， 以乘正从…… ， 又可半正从……以乘并 。”刘徽在注中说明他的证法仍是“出入相补”法 。在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田” ， 上、下底分别称为“舌”、“踵” ， 面积公式是：“术曰：并踵舌而半之 ， 以乘正从” 。