伴侣矩阵 _生活百科

伴侣矩阵【伴侣矩阵】伴侣矩阵亦称友矩阵，是矩阵标準形理论中一类重要的矩阵。
基本介绍中文名：伴侣矩阵
外文名：companion
适用範围：数理科学
简介伴侣矩阵亦称友矩阵，矩阵标準形理论中一类重要的矩阵。设

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是数域 P 上的首一多项式，则 P 上的矩阵

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称为多项式 d(λ) 的伴侣矩阵。设

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是 d(λ) 的友矩阵，则特徵矩阵

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的不变因子是1,1,...,d(λ) 。相关定理定理1每一个首 1 多项式既是它的友矩阵的最小多项式，又是它的友矩阵的特徵多项式。如

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的极小多项式的次数为 n，那幺与每一个特徵值对应的最大的Jordan块就是与每一个特徵值对应的唯一的Jordan块．这样的矩阵是无损的，特别地，每一个友矩阵都是无损的，当然，不一定每个无损的矩阵

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都是友矩阵，但是 A 与 A 的特徵多项式的友矩阵 C 有同样的Jordan标準型(与每一个不同的特徵值

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对应的只有一个分块，所以 A 与 C 相似。定理2设 C 为多项式 p(x) 的友矩阵，

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是 C 的特徵值，则

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是 C 的对应于

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的特徵向量。定理3n 阶複数矩阵 A 相似于它的特徵多项式

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的友鉅阵，当日仅当 A 的最小多项式与特徵多项式相同。定理4设

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有极小多项式

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以及特徵多项式

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，则下面诸结论等价：(a)

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的次数为n；(b)

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=

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；(c)A是无损的；(d)

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与P^(t)的友矩阵相似。