从图中可以清晰的看出，若认为复数贴在圆上，复数的指数每增加1 1 1，这个复数都会沿着圆弧逆时针移动I m ( z ) = π 70 Im(z)=\dfrac{\pi}{70} Im(z)=70π? 的距离 。也就是说，对于( 1 + i π 70 ) 70 (1+\{i}\dfrac{\pi}{70})^{70} (1+i70π?)70，它移动了70 70 70 次，最后也就是总共沿着圆弧移动了π 70 ? 70 = π \dfrac{\pi}{70}\cdot 70=\pi 70π??70=π 的距离 。
回到原命题 。由于m m m 趋近于无穷，所以π m \dfrac{\pi}{m} mπ? 趋近于0 0 0，所以复数1 + i π m 1+\{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ? 无限贴近复数点1 1 1 。又因为m m m 次幂表示移动半个圆，因此复数 1 + i π m 1+\{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ? 的m m m 次幂即表示为从1 1 1 点沿着圆弧逆时针运动半个圆，最后得到的结果也就是? 1 -1 ?1 。
所以
e i π = lim ? m → ∞ ( 1 + i π m ) m = ? 1 \LARGE e^{\{i}\pi}=\lim_{m\ \infty}(1+\{i}\dfrac{\pi}{m})^m=-1 eiπ=m→∞lim?(1+imπ?)m=?1
这是一个关于欧拉恒等式不那么严谨但是非常直观的几何证明 。
【欧拉恒等式】参考资料