欧拉恒等式
曾被选为数学界最优美的公式，欧拉恒等式：
e i π = ? 1 \LARGE e^{\{i}\pi}=-1 eiπ=?1
b u t , w h y ? but,why? but,why?
前置知识复数
我们当然学过复数乘法 。
举个例子，对于复数1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 和1 + 2 i 1+2\{i} 1+2i，我们可以利用类似多项式乘法的步骤来计算两个复数的积 。
( 1.5 + i ) ( 1 + 2 i ) = 1.5 + 3 i + i ? 2 = ? 0.5 + 4 i (1.5+\{i})(1+2\{i})\\=1.5+3\{i}+\{i}-2\\=-0.5+4\{i} (1.5+i)(1+2i)=1.5+3i+i?2=?0.5+4i
当然，如果你喜欢你也可以将乘法的过程用复数的几何性质来实现：（有人称为复数的三角乘法）
构造复平面，在平面上标出1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 和1 + 2 i 1+2\{i} 1+2i ：
我们做一个以0 0 0、 1 1 1 和1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 为顶点的三角形，称它为1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 的三角形 。
1 + 2 i 1+2\{i} 1+2i 的三角形同理
现在我们将1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 的三角形位于实轴上的边放置到1 + 2 i 1+2\{i} 1+2i 的三角形的斜边上 。
然后将1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 的三角形按比例放大，以至当1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 的三角形的边与1 + 2 i 1+2\{i} 1+2i 三角形的斜边契合 。
然后我们就得到了这个复数乘积的位置 。
按照这个规则，我们也可以轻松得到某个复数的幂得位置：
然后我们就可以得到一个普遍规律：
对于一个复数a + b i a+b\{i} a+bi
e的含义
lim ? n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \large \lim_{n\ \infty} (1+\dfrac{1}{n})^n =e n→∞lim?(1+n1?)n=e
显然，π \pi π 表示一个圆的圆周除以直径，但是在弧度制中π \pi π 表示半径为1 1 1 的半圆的弧长 。
正片开始
先不考虑复数，我们考虑e π e^{\pi} eπ 次方到底是什么 。
显然这两个超越数的组合不是那么好求 。
我们根据e e e 的定义，我们可以将e π e^{\pi} eπ 表示为
lim ? n → ∞ ( 1 + 1 n ) n π \lim_{n\ \infty} (1+\dfrac{1}{n})^{n\pi} n→∞lim?(1+n1?)nπ
文章插图
转化为
lim ? n → ∞ ( 1 + π n π ) n π \lim_{n\ \infty} (1+\dfrac{\pi}{n\pi})^{n\pi} n→∞lim?(1+nππ?)nπ
由于n n n 可以取任意数，也就是说n π n\pi nπ 也是任意值，因此可以将n π n\pi nπ 用变量m m m 代替，将式子变为
lim ? m → ∞ ( 1 + π m ) m \lim_{m\ \infty} (1+\dfrac{\pi}{m})^{m} m→∞lim?(1+mπ?)m
顿时好看多了 。我们再转为求e i π e^{\{i}\pi} eiπ
lim ? m → ∞ ( 1 + i π m ) m \lim_{m\ \infty} (1+\{i}\dfrac{\pi}{m})^{m} m→∞lim?(1+imπ?)m
接下来就变成求一个复数的无穷指数幂了，看起来就觉得它是收敛的，我们逝一下 。
观察这个复数1 + i π m 1+\{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ?，我们发现，当m m m 趋近于无穷时，这个复数就会趋近于1 1 1 。而我们已经知道，若一个复数模长为1 1 1，则这个复数的任意次幂都是在复平面中的单位圆上的，所以可以认为e i π e^{\{i}\pi} eiπ 的值必定是一个模长为1 1 1 的复数，也就是在单位圆上 。
那e i π e^{\{i}{\pi}} eiπ 到底在单位圆的哪个位置呢？我们可以通过复数幂的三角形形式来得到答案 。
看图易联想到，对于任意复数z = 1 + i π m z=1+\{i}\dfrac{\pi}{m} z=1+imπ?，若认为π m \dfrac{\pi}{m} mπ? 非常小，甚至趋近于0 0 0，它的m m m 次幂即( 1 + i π m ) m (1+\{i}\dfrac{\pi}{m})^m (1+imπ?)m 在几何意义上都对应着沿着圆弧移动了π \pi π 的距离 。我们都知道单位半圆的弧长为π \pi π，因此对于虚部趋近于0 0 0，模长趋近于1 1 1 的复数1 + i π m 1+\{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ?，它的m m m 次幂( 1 + i π m ) m (1+\{i}\dfrac{\pi}{m})^m (1+imπ?)m 的几何意义相当于就是从原先的点运动了半个圆 。
如图，对于复数1 + i π 70 1+\{i}\dfrac{\pi}{70} 1+i70π?，它的虚部π 70 \dfrac{\pi}{70} 70π? 是一个相对较小的数字，视这个复数贴在圆上，忽略掉误差 。