离散Fourier变换的一种理解方法 _投影

1. 离散变换的定义
一个信号 x 的离散变换(，简记为DFT)定义为
，
其逆() 变换(简记为 IDFT)定义为
。
(译注：符号“?”表示“根据定义，左边等于右边” 。)
其中，
在时刻
(秒)时的输入信号的幅度() 。
= 第n个采样时刻()(秒) 。
采样顺序编号( )(整数) 。
采样周期( )(整数) 。
信号 x 在弧度频率( )(译注：即，角频率)
处的频谱() 。
= 第 n 个频率样本(弧度/秒) 。
= 弧度频率采样间隔( ) 。
= 采样率( rate)(样本数/秒，或者Hz(Hertz)) 。
N = 时间和频率中的采样数目(整数) 。
(译注：Hz的物理意义为“每秒循环次数( per )”)
2. 离散变换的数学知识
在信号处理的文献中，通常在前面的定义中令 T = 1, 从而获得更为纯粹的形式：
。
其中，
(复数的基)
。
2.1 复平面
下面是一个点在复平面中的示意图：
--------------------------------------------图2.2. 复数在复平面中的图像-----------------------------------------
将 z = x + jy 绘制为复平面中的点 (x, y) 可以视为笛卡尔()坐标或直线坐标()中的绘图(译注：均有两个轴上的值相对应) 。我们也可以根据极坐标将复数表示为一个有序对(r,θ),其中，r是原点到所绘点的距离，θ是数相对于正实数轴(按 y = 0 且 x > 0 所定义的直线)的夹角(如图2.2所示) 。
使用初等几何知识，可以迅速地证明，从矩形坐标到极坐标的转换由下列公式完成：
。

文章插图
。
另一个常用的情况是离散时间变换(DTFT)，它与DFT类似，区别仅在于，它接收一个无限的采样数，而不是仅 N 个样本点。在这情况下，频率是连续的，并且
= \sum_{n=0}^{\infty}y(n)e^{-j\omega nT} \ \{DTFT}_{\omega}(y)" src="" />
DTFT是当 DFT 中的样本数量接近无穷大时您得到的极限值。总和的下限保持为零，因为我们假设所有信号在负时间都为零。这意味着我们正在使用单边()变换。还存在相应的双边变换( )，其求和下限为 -∞ 。
4. 理解离散变换
对于长度为N的复数序列x (n) (n = 0 ,1 ,...,N – 1)，其离散变换定义为
。
=第n个采样时刻()(秒) 。
= 第 k个频率样本(弧度/秒) 。
= 时间采样间隔(秒) 。
= 频率采样间隔(秒) 。
现在，我们需要全面理解变换核( ),即
。
这个变换内核由在 0 和采样率
之间均匀间隔的 N 个离散频率
的复正弦曲线样本组成。
剩下的问题就是，理解x (n)乘以每个复数正弦曲线的逐点乘积在n上求和的目的和函数。我们将这种情况解释为内积运算，这个内积运算计算将信号x 投影到复数正弦曲线
上所产生的投影系数。因此，在
处的离散变换
是一种复数正弦在那个用输入信号x所表示的频率处的幅度和相位的度量。这是所有变换和(以离散时间表示)与积分(以连续时间表示)和它们的核的基本函数。
参考资料：
【离散Fourier变换的一种理解方法】《 of the(DFT)》O. Smith III